Криволинейные интегралы I типа

Определение и характеристики криволинейного интеграла I типа

Пусть функция z=f(M) определена повдоль некой кривой L, лежащей в плоскости XOY, другими словами хоть какой точке MÎL соответствует f(M). Пусть y=j(x) - уравнение кривой L, где j(x) - непрерывно-дифференцируемая функция. Тогда кривая L будет гладкой и спрямляемой. A Криволинейные интегралы I типа, B- концы кривой L. Разобьем кривую произвольным образом на n частей точками A=M0, M1,…, Mn=B. На каждой частичной дуге выберем произвольно точку . Составим сумму

, (1)

где - длина дуги .

Эта сумма именуется интегральной суммой для функции z=f(M), данной на кривой L. Обозначим .

Определение.Если существует конечный Криволинейные интегралы I типа предел при l®0 интегральной суммы (1), не зависящий ни от метода разбиения кривой L на части, ни от выбора точек , то он именуется криволинейным интегралом I типа (либо криволинейным интегралом по длине дуги) от функции f(M) по кривой L и обозначается либо .

Функция f(M) именуется интегрируемой повдоль кривой L Криволинейные интегралы I типа.

Характеристики криволинейного интеграла I типа

1º. Величина криволинейного интеграла не находится в зависимости от направления интегрирования:

(это разъясняется тем, что при составлении интегральной суммы (1) нумерация точек разбиения может быть произведена и в оборотном порядке: от В к А, это ничего не меняет).

2º. (Аддитивность)

.

3º.(Линейность)

.

2. Задачка о площади Криволинейные интегралы I типа цилиндрической поверхности

Как понятно, определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), осью и прямыми x=a, x=b. Если f(x)£0, площадь нужно взять со знаком «-». Аналогично можно придти к геометрическому смыслу криволинейного интеграла I типа.

Пусть в плоскости дана спрямляемая кривая L=АВ, на Криволинейные интегралы I типа которой определена функция f(M)³0. Тогда точки (M; f(M)) образуют некую кривую, которая лежит на цилиндрической поверхности с направляющей L и образующей, параллельной .

Задачка. Найти площадь части цилиндрической поверхности, которая ограничена сверху кривой z=f(M), снизу – кривой L, с боков – прямыми AA¢ и BB¢.

Для решения Криволинейные интегралы I типа этой задачки разобьем кривую произвольно точками A=M0, M1,…, Mn=B на n частей. На каждой частичной дуге выберем произвольно точку . Из каждой точки дробления проведем прямые, параллельные оси . Поверхность разобьется на n полосок . Каждую такую полоску заменим прямоугольником с основанием = и высотой . Площадь ее . Тогда

. (2)

Равенство (2) тем поточнее, чем Криволинейные интегралы I типа мельче разбиение кривой L на части. Пусть . Тогда переходя к в (2), получим четкое равенство:

.

Геометрический смысл криволинейного интеграла I типа

Из определения криволинейного интеграла I типа и этой задачки следует, что криволинейный интеграл при f(M)³0 численно равен площади участка цилиндрической поверхности с образующей, параллельной Oz, который снизу ограничен Криволинейные интегралы I типа контурами интегрирования L=AB, а сверху - кривой z=f(M).

Если , то ,

где - длина самого контура интегрирования L.

Таким макаром, при помощи криволинейного интеграла I типа можно вычислить площадь цилиндрической поверхности и длину дуги.

3. Задачка о массе кривой

Разглядим физическую задачку, которая приводит к понятию криволинейного интеграла I Криволинейные интегралы I типа типа. Пусть повдоль некой спрямляемой кривой L всераспространена масса с плотностью r(М) "MÎL.

Задачка.Найти массу всей этой кривой.

Разобьем кривую L на частичные дуги . На каждой частичной дуге выберем произвольно точку , - плотность в точке . Будем считать, что плотность на всей частичной дуге постоянна и равна . Тогда Криволинейные интегралы I типа - масса дуги , как следует, - масса всей кривой L.

Последнее равенство тем поточнее, чем меньше разбиение. Пусть . Тогда

.

Физический смысл криволинейного интеграла I типа

на физическом уровне выражает массу кривой L, плотность в каждой точке которой равна f(M).

4. Вычисление криволинейного интеграла I типа

Криволинейный интеграл I типа рассчитывается методом сведения его к Криволинейные интегралы I типа обычному определенному интегралу. Пусть требуется вычислить .

Аксиома.Пусть кривая L=AB задана параметрически

, (3)

где j(t) и y(t) - безпрерывно дифференцируемы на [t1;t2]. Пусть f(x;y) непрерывна на кривой L. Тогда

. (4)

Подтверждение.

Пусть для определенности наименьшему значению параметра t1 соответствует точка A. Функция f(x;y) непрерывна повдоль кривой L Криволинейные интегралы I типа, т. е. непрерывна в хоть какой точке М(x;y)ÎL. Положение точки на кривой L определяется длиной дуги . Этим самым координаты x, y точки M тоже определяются как функции от s: Это есть параметрическое представление кривой L с параметром sÎ[0;S], где S - длина всей кривой L. Тогда Криволинейные интегралы I типа f(x;y)=f(x(s);y(s))=F(s) - непростая функция от s.

Пусть - случайное разбиение кривой L на дуги . Произвольно выберем на точку . Обозначим через и значения параметра s, отвечающие соответственно точкам и . Тогда

. (5)

Справа в (5) – рядовая интегральная сумма для функции F(s), где . Переходя в (5) к , получим

, (6)

где интегрирование Криволинейные интегралы I типа по s уже обозначает взятие обычного определенного интеграла от функции одной переменной F(s). Потому что f(x;y) непрерывна и x=x(s), y=y(s) непрерывны, то непростая функция F(s) непрерывна и, как следует, есть все интегралы в (6).

С другой стороны длину s дуги можно Криволинейные интегралы I типа рассматривать как функцию параметра t: s=s(t). Таким макаром, M=M(j(t);y(t)). С возрастанием t от t1 до t2 величина s растет от 0 до S. Понятно, что дифференциал дуги

.

Выполнив подмену переменной в (6) получим:

= .

Замечание. Если кривая L задана очевидным уравнением y=j(x) (x Криволинейные интегралы I типаÎ[a;b], j(x)- безпрерывно дифференцируемая функция), то принимая за параметр переменную , получим параметрическое уравнение кривой: Как следует,

. (7)

Пример 1.Вычислить , - дуга астроиды , лежащей в первой четверти.

Δ Параметрическое уравнение части астроиды, лежащей в первой четверти:

, .

По формуле (4)

. Δ

Пример 2.Вычислить массу всей цепной полосы , если линейная плотность ее .

Δ . Применим формулу (7):

.

, ,

.

Как следует Криволинейные интегралы I типа,

. Δ


kriterij-granichnih-koncentracij-gazov-rastvorennih-v-masle-transformatorov.html
kriterij-istini-referat.html
kriterij-masshtabnosti-osnovannij-na-ozhidaniyah.html