Кривые на плоскости и в пространстве

3.1. Параметрический метод задания кривой

Более общим методом задания кривой является написание её уравнения в координатной либо векторной формах (см. п.1.1.).

Координатная форма уравнения плоской кривой представляет собой систему

, (1)

где , , – некий просвет, а и – определенные на нем функ- ции. Система (1) каждому t, сопоставляет точку плоскости с абсциссой и ординатой . Когда t, возрастая Кривые на плоскости и в пространстве, пробегает отрезок , точка перемещается по плоскости; линия движения, описываемая ею, и есть кривая G (рис.3.1).

Рис. 3.1.

Система

( 2 ) есть координатная форма уравнения кривой G, расположенной в пространстве. Она каждому t, , ставит в соответствие точку , а кривая G есть линия движения, которую обрисовывает , когда t, возрастая, пробегает отрезок (рис. 3.2). Уравнения , входящие в систему (2), именуют Кривые на плоскости и в пространстве параметрическими уравнениями кривой Г

Рис. 3.2.

Уравнение (1) плоской кривой можно считать личным случаем уравнения (2) при на ; потому ниже, в главном, рассматриваем кривые, данные уравнением (2). Это уравнение почаще записываем в векторной форме:

, (3)

где , . Заметим, что кривая G является годографом век- тор- функции

Ниже функции и , а, как следует, и вектор- функцию Кривые на плоскости и в пространстве , счи- таем непрерывными на .

Пусть кривая Г задана уравнением (3).

Определение. Кривую Г назовём простой кривой, если из условия , следует

.Уравнение кривой задает отображение отрезка числовой оси на множест- во точек плоскости либо места, принадлежащих кривой. Это отображение безпрерывно ( потому что непрерывная функция), а в случае простой кривой оно ещё Кривые на плоскости и в пространстве и взаимно совершенно точно.

Рис. 3.3.

Пример 3. Пусть плоская кривая G является графиком функции , непрерывной на промежутке , : (рис.3.3). Уравнение этой кривой можно записать в очевидной форме ; можно записать для нее параметрические уравнения:

.

Разумеется, график G есть простая кривая.

Определение. Точку P, , назовем кратной точкой кривой либо точкой самопересечения, если есть и Кривые на плоскости и в пространстве , , принадлежащие и такие, что точки и совпадают с P (как следует, ).

Пример 1. Разглядим плоскую кривую G, заданную системой

.

Эта кривая изображена на рис.3.4. При возрастании t точка обрисовывает G, двигаясь в направлении, обозначенном на рисунке стрелками. При она проходит через точку ; описав петлю, она опять проходит через точку P Кривые на плоскости и в пространстве при . P – точка самопересечения кривой G.

Рис. 3.4.

Кривая, имеющая хотя бы одну точку самопересечения, не является простой .

Замечание. Если хотя бы одна из координатных функций , и строго однообразна на , то кривая G, данная уравнением (3), является простой кривой. Дей- ствительно, пусть, например, , строго моно- тонна. Тогда для всех и , , лежащих Кривые на плоскости и в пространстве на , будет выполнено , а этого довольно, чтоб утверждать: .

3.2. Касательная к кривой

В п.1.5. главы 2 было введено понятие о касательной к графику функции : касательная есть предельное положение секущей. Тут мы определим это понятие для кривой, представленной параметрически и расположенной, вообщем говоря, в пространстве.

Пусть G - простая кривая, данная уравнением (3), где Кривые на плоскости и в пространстве вектор- функция непрерывна на , .

Зафиксируем некое число , , и определим для и вектор- функцию :

Потому что G – простая кривая, то при , потому определена при , причём ( рис. 3.5.).

Допустим, что существует предел ; обозначим этот предел через . Обозначим также через точку с координатами , и (рис. 3.5).

Определение 2. Касательной к кривой G в точке назовем прямую , проходящую через Кривые на плоскости и в пространстве точку параллельно вектору .

Замечание. Прямую , проходящую через точки и ( ), , именуют секущей. Вектор – направляющий вектор секущей (рис. 3.5). При секущая крутится вокруг точки так, что угол меж и стремится к нулю. Имея в виду это событие, касательную именуют предельным положением секущей при .

Определение 2 имеет смысл, если существует . Меж тем Кривые на плоскости и в пространстве, этот предел существует не всегда.

Рис. 3.6.

Пример 1. Пусть , и – данные векторы, при этом и отличны от нуля и неколлинеарны. Обозначим через точку, радиусом-вектором которой является . Разглядим кривую G, уравнение которой

,

G состоит из 2-ух лучей с общей верхушкой : луча , параллельного и луча , параллельного (рис.3.6). При всех точка лежит на Кривые на плоскости и в пространстве , потому при вектор коллинеарен ; при коллинеарен . Отсюда ясно, что однобокие пределы в точке различны, потому не существует. Как следует, касательной к G в точке нет.

Итак, касательная существует не всегда.

Аксиома 1. (О существовании касательной) Пусть вектор- функция в урав- нении (3) безпрерывно дифференцируема в точке , , причём . Тог- да:

1) существует касательная к Кривые на плоскости и в пространстве кривой G в точке , где , , ;

2) уравнение , есть уравнение касательной

► Потому что , то хотя бы одна из координат , , век- тора отлична от нуля. Для определенности будем считать, что . Функ- ция – непрерывна в точке , потому найдется такое, что на ин- тервале . Означает, растет на этом интервале. Отсюда следует (см. замечание, п.3.1,): при Кривые на плоскости и в пространстве всех и , , лежащих на интервале ,справедливо .

1) В проколотой округи разглядим вектор- функцию :

Пусть . Имеем: .

Вектор-функция дифференцируема в точке , потому

;

отсюда: .

Итак, .

Аналогично получим:

.

Потому что однобокие пределы схожи, то предел существует и равен . Как следует, касательная в точке Р0 существует: это ровная , проходящая через параллельно

2) Запишем каноническое Кривые на плоскости и в пространстве уравнение прямой . Она проходит через точку , а вектор является её направляющим вектором. Разумеется, что векторы и сонаправлены; потому в качестве направляющего вектора прямой можно взять . Означает, каноническое уравнение запишется так: .

Замечание . В процессе подтверждения аксиомы установлено, что вектор является направляющим вектором касательной . В этом состоит геометрический смысл производной вектор- функции Кривые на плоскости и в пространстве..

Определение. Кривую G, заданную представлением (3), именуют гладкой кри- вой, если

1) вектор-функция безпрерывно дифференцируема на ;

2) .

Из этого определения и доказанной аксиомы вытекает, что в каждой точке глад- кой кривой существует касательная к ней. Не считая того, потому что производная , определяющая направление касательной, непрерывна на , на кривой нет “угло- вых” точек - точек Кривые на плоскости и в пространстве, при переходе через которые направление касательной изменяется скачком. В этом состоит геометрический смысл определения гладкой кривой. Геометрически гладкая кривая – это кривая, имеющая в каждой точке касательную, положение которой при движении точки повдоль кривой меняется плавненько.

Определение. Плоскость, проходящую через точку , , перпендикулярно касательной к G в точке , именуют Кривые на плоскости и в пространстве обычной плоскостью кривой G в точке . Всякую прямую, проходящую через перпендикулярно , именуют нормалью кривой G в точке .

Если G задана представлением (3), то уравнение обычной плоскости к G в точке запишется так:

.

Остановимся раздельно на случае, когда G есть плоская кривая, являющаяся графиком функции на промежутке , . Система

есть координатная форма уравнения Г Кривые на плоскости и в пространстве , а

,

где , есть векторная форма её уравнения. Если имеет на непрерывную производную , то производная непрерывна и отлична от на ; потому Г удовлетворяет требованиям определения гладкой кривой.. Пусть , , где . Запишем уравнение касательной к G в точке (см. утверждение 2) аксиомы):

, т.е.

(сравните с уравнением касательной, приобретенным в п.1.5. гл. 2).

3.3. Длина кривой

Пусть Кривые на плоскости и в пространстве кривая G задана уравнением

, (3)

Рис. 3.8.

где вектор-функция непрерывна на , . Обозначим через T некий набор чисел, лежащих на : . Введем также последующие обозначения: – точка с координата- ми , , , ; – ломаная линия, звеньями которой являются прямолиней- ные отрезки , , , . Верхушки ло- маной , точки , , лежат на G, мы будем гласить, что ломаная вписана в кривую G (рис Кривые на плоскости и в пространстве.3.8). Через обозначим длину ломаной :

.

Определение 1. Длиной кривой G назовем точную верхнюю грань длин различных ломаных, вписанных в G.

Обозначать длину G будем через . Таким макаром, по определению

,

где есть совокупа различных наборов чисел таких, что ; тут n воспринимает любые натуральные значения.

Величина – или положительное число, или . Довольно ясно, напри- мер Кривые на плоскости и в пространстве, что в такую неограниченную кривую, как парабола, можно вписать ломаную как угодно большой длины ; потому для параболы .

Определение. Кривую G назовем спрямляемой кривой, если ее длина есть неотрицательное число (т.е. если ).

Введем обозначения, которые употребляются ниже. Пусть вектор-функция безпрерывно дифференцируема на секторе Тогда функции Кривые на плоскости и в пространстве , и непрерывны, а поэтому и ограничены на . Обозначим через , и четкие нижние грани на функций , и соотвеетст- венно, а через , и – четкие верхние грани на этих функций.

Аксиома 1.( Достаточный признак спрямляемости кривой) Пусть кривая G, задана уравнением (3), где безпрерывно дифференцируема на секторе . Тогда G спрямляема, а ее длина удовлетворяет неравенствам:

. (4)

Пусть , . Запишем Кривые на плоскости и в пространстве выражение для длины ломаной , вписанной в кривую G:

.

По формуле конечных приращений (аксиома 4, п. 2.2, гл. 2) на секторе найдутся точки , и такие, что , , , где . Отсюда:

. ( 5)

Потому что , и , то

.

Неравенство справедливо для всякого набора T, потому

.

Тем подтверждены спрямляемость кривой G и правая часть неравенств (4). Докажем левую часть этих неравенств. Из (5) имеем Кривые на плоскости и в пространстве:

.

Совокупа содержит различные наборы ; посреди этих наборов имеются такие, для которых и . Если набор удовлетворяет условиям и , то , потому и не меньше , т.е. .

3.4. Уравнение с натуральным параметром

Пусть G – спрямляемая кривая, данная уравнением (3). где вектор-функция безпрерывно дифференцируема на секторе , .

Обозначим через длину дуги, ограниченной точками и

(рис Кривые на плоскости и в пространстве. 3.9). Величину будем рассматривать как функцию аргумента t, заданную на секторе . Эту функцию именуют переменной длиной дуги. Заметим: .

Аксиома.(О переменной длине дуги) Переменная длина дуги дифференцируема на , при этом

.

Пусть , и такое, что . Обозначим: . есть длина дуги кривой G, которую пробегает точка при возрастании t от до . По аксиоме Кривые на плоскости и в пространстве о достаточном признаке спрямляемости

, (6)

где , и – четкие нижние грани , и на , а , и – четкие верхние грани на тех же функций. Потому что указан- ные функции непрерывны на , есть лежащие на точки , и , такие, что , , , также точки , , и , такие, что , , . Из (6) сейчас получим:

.

При , любая из точек стремится к справа, потому Кривые на плоскости и в пространстве, потому что , и непрерывны в точке , получим:

.

Тут – случайное число из ; означает,

. (7)

Пусть сейчас , и такое, что Заметим, что при приращение . Аналогично изложенному выше получим:

, (8)

где , и – четкие грани на функций , и соответственно. Поделив все части (8) на отрицательное число , получим:

. (9)

На есть точки , и , в каких , , добивается собственных четких Кривые на плоскости и в пространстве нижних и верхних граней. Из (9) имеем:

.

Перейдя тут к лимиту при , получим:

.

Тут – случайное число из ; как следует, подтверждено:

. (10)

Из (7) и (10) вытекает: . Не считая того, (см. (7) и (см. 10)). Таким макаром, утверждение аксиомы справедливо.

Пусть кривая G, данная представлением (3) является гладкой. Тогда . Но ; означает, на , и функция растет на от до Кривые на плоскости и в пространстве . Оборотная функция увеличивается на , огромное количество ее значений есть ; дифференцируема на , при этом ( гл.2, п. 1.3.).

Обозначим: . Когда s растет от 0 до , увеличивается от a до b, так что годографом вектор- функции на является годограф вектор-функции на , т.е. кривая G. Как следует, G можно задать параметрически Кривые на плоскости и в пространстве уравнением

, (11)

в каком параметр s имеет геометрический смысл длины дуги. Этот параметр именуют натуральным параметром кривой G, а уравнение (11) – уравнением G с натуральным параметром (время от времени – натуральным уравнением G).

Замечание. Вектор-функция в уравнении (11) безпрерывно дифференцируе- ма на , при этом .

Из (2) следует, что непрерывна и не обращается в нуль на ; потому Кривые на плоскости и в пространстве непрерывна на . Имеем:

.


kriterii-zachyota-s-ocenkoj-po-praktike.html
kriteriizdorovyarebenka-programma-dlya-roditelej-i-pedagogov-kotoraya-nazivaetsya-iz-detstva-v-otrochestvo.html
kriterij-2-snyat-vozrazheniya.html