Критерий устойчивости Найквиста

И Найквиста.

При помощи этих критериев исследуется устойчивость САР в частотой области.

Частотный аспект Михайлова

Начальная информация – характеристическое уравнение разомкнутой либо замкнутой системы

an sn + an-1 sn-1 + an-2 sn-2 + …+ a0 = 0.

Оковём подмены s на jw перебегаем к уравнению Михайлов

M(jw) = an (jw)n + an-1 (jw)n-1 + an-2 (jw)n-2 + …+ a0 = P Критерий устойчивости Найквиста(w) + j Q(w) ,

где Р(w) – вещественная часть годографа Михайлова, чётная функция частоты; Q (w) – надуманная часть годографа Михайлова, нечётная функция частоты.

Аспект Михайлова формулируется последующим образом: система устойчива, если годограф Михайлова при изменении w от 0 до ¥ проходит в положительном направлении n квадрантов всеохватывающей плоскости, начиная свое движение с Критерий устойчивости Найквиста точки а0 положительной полуоси, и нигде не обращается в нуль.

Аспект Михайлова имеет и другую формулировку: система устойчива, если действительная и надуманная части годографа Михайлова обращаются в нуль поочерёдно, т.е. если корешки уравнений

P(w) = 0 и Q(w) = 0

действительные и перемежаются, при w = 0 P(0) > 0, Q(0) > 0.

Пример: найти устойчивость системы, характеристическое Критерий устойчивости Найквиста уравнение которой

D(p) = 0,0057s3 + 0,58s2 + s + 70.

Выполним подстановку s = jw и выделим вещественную и надуманную части годографа Михайлова

M(jw)= -j 0,0057w3 – 0,58w2 j w +70 = (70 – 0,58 w2) + j ( w - 0,0057 w3).

Для ряда значений частоты w вычислим вещественную

Р(w) = ( 70 – 0, 58 w2),

надуманную части кривой Михайлова

Q(w) = (w - 0,0057 w3)

и результаты расчётов сведём Критерий устойчивости Найквиста в таблицу, по данным которой можно выстроить кривую Михайлова. Для определения точек скрещения осей необходимо решить уравнения Р(ω) = 0 и Q(ω) = 0. Но целенаправлено для построения графика использовать способности MATLAB:

>> x=[0:1:20];

>> p=70-0.58*x.^2;

q=x-0.0057*x.^3;

>> plot(p,q),xlabel('P'),ylabel('Q') - рис. 6.3.

w Р(w) Q(w)
13.2 ¥ Критерий устойчивости Найквиста; 55,5 –28 -31 -60,5 –¥ 4,29 4,3 3.41 0,477 –4,24 –¥

Рис. 6.3

Кривая Михайлова поочередно проходит три квадранта. Потому что характеристическое уравнение исследуемой системы третьего порядка, то система устойчива.

Разные виды годографов представлены на рис. 6.4. Системе, находящейся на границе стойкости, соответствует годограф, проходящий через начало координат, неуравновешенной системе – кривая, проходящая через 1, 4 и 3 квадранты.

Рис. 6.4

Аспект стойкости Найквиста

Это также частотный Критерий устойчивости Найквиста аспект, позволяющий судить об стойкости системы, замкнутой единичной отрицательной оборотной связью, по амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутого контура. За ранее требуется исследование стойкости разомкнутой системы, обычно, по алгебраическим аспектам. Для устойчивых и неуравновешенных в разомкнутом состоянии систем формулировки аспекта различные.

Если система устойчива в разомкнутом состоянии, то для Критерий устойчивости Найквиста стойкости в замкнутом состоянии нужно и довольно, чтоб амплитудно -фазовая частотная черта разомкнутого контура не обхватывала точку с координатами (-1, j0).

Для систем, неуравновешенных в разомкнутых состояниях, аспект Найквиста имеет такую формулировку: если разомкнутая система неустойчива и имеет m корней в правой полуплоскости, то для стойкости в замкнутом состоянии нужно и довольно Критерий устойчивости Найквиста, чтоб амплитудно-фазовая черта разомкнутого контура обхватывала точку с координатами (-1, j0) m/2 раз.

Если система имеет местные оборотные связи, то нужно проверить устойчивость внутренних контуров хоть каким аспектом.

Пример: задана передаточная функция системы управления

Изучить её на устойчивость.

Создадим подмену s = jω и найдём АФЧХ:

Кривая пересекает ось -1, если arctg φ = π . В Критерий устойчивости Найквиста данном случае

- a3ω3 + a1ω = 0. Как следует, ω2 = а1 /a3 . При а1 / а3 = 1 ω = 1 и А(1) = k /(а0 - а2). Система может быть устойчивой либо неуравновешенной зависимо от соотношения величин k, а2 , а0.

Диаграмма Найквиста может быть построена в MATLAB при помощи функции nyquist([…],[…]) либо nyquist(W).

Пример: выстроить годограф Найквиста для системы с передаточной Критерий устойчивости Найквиста функцией

В согласовании с аспектом Гурвица эта система устойчива в разомкнутом состоянии. Исследуем её устойчивость в замкнутом состоянии:

>> W=tf([5],[1 3 3 1])

Transfer function:

---------------------

s^3 + 3 s^2 + 3 s + 1

>> nyquist([5],[1 3 3 1]) – рис. 6.5

Рис. 6.5

АФЧХ разомкнутой системы не обхватывает точку с координатами

(-1, j0), потому замкнутая система устойчива.

6.4. Устойчивость систем с запаздыванием.

Отдельные звенья САР владеют Критерий устойчивости Найквиста “незапятнанным” запаздыванием, которое сказывается в том, что система реагирует на входной сигнал не сходу, а по истечении некого неизменного времени t. Это событие учитывается введением звена незапятнанного запаздывания с передаточной функцией

W(s) = exp (- t s),

а структурная схема системы показана на рис. 6.6.

Рис. 6.6

Передаточная функция разомкнутой системы

WP (s) = W0 (s) exp (- ts Критерий устойчивости Найквиста).

Система без запаздывания (t = 0) именуется предельной.

Частотные свойства системы с запаздыванием и без него определяются, соответственно, выражениями

WP (jw) = W0 (jw) exp (- t jw) =A(ω)exp[j(φ(ω)-ωτ)];

WP (jw) = W0 (jw)=A(ω)exp[jφ(ω)].

Отсюда видно, что для построения частотного годографа системы с запаздыванием следует выстроить годограф системы Критерий устойчивости Найквиста без запаздывания (предельной системы) и каждый вектор этого годографа повернуть по часовой стрелке на угол wt. Последний растет как при увеличении w, так и t.

Для некого значения t = t0 и w = wp годограф пройдёт через точку (-1, j0), и, как следует, АСР будет находиться на границе стойкости (рис. 6.7). Значения t0 и Критерий устойчивости Найквиста wp определяются из уравнения

Wp ( jwp ) = W0 ( jwp ) exp ( -jwp t0) = -1.

Рис. 6.7

Пример: система состоит из апериодического звена первого порядка с передаточным коэффициентом к > 1, неизменной времени Т и звена запаздывания с неизменной времени t. Найти предельное время запаздывания t0, при котором система устойчива.

Модуль передаточной функции

WP (jwp ) = mod W0 (jwp ) = 1

либо

к Критерий устойчивости Найквиста2 = 1 + wp2 Т2.

Отсюда

wp2 = (к2 – 1)/ Т2.

Аргумент передаточной функции

arg Wp(jwp) = arg W0 (jwp) - wpt0 = -j - wpt0 = -p

либо

t0 = (p-j) / wp ,

где j = - arg W0( jwp ) = arc tg (wp T).

При t < t0 система устойчива.

Если к = 7, Т = 100 с, t = 20 с, то wp = 0, 085 с-1, А(wp) = 0,82 < 1 и система устойчива. Предельное Критерий устойчивости Найквиста время запаздывания t0 = 25 с.

6.5. Воздействие характеристик системы на её устойчивость.

Диаграмма Вышнеградского. Границы стойкости.

Для исследования воздействия разных характеристик системы на её устойчивость разработаны особые способы, дозволяющие облегчить их исследование. Рассмотрение воздействия характеристик на устойчивость системы может выполняться 2-мя основными способами:

- оковём анализа перемещения корней характеристического Критерий устойчивости Найквиста уравнения системы в плоскости корней – способ корневого годографа;

- оковём анализа числа корней характеристического уравнения, лежащих в правой полуплоскости, в пространстве характеристик системы – способ D;

- разбиения места характеристик.


kriterii-riska-pri-boevoj-rabote-s-pomoshyu-evm.html
kriterii-servisa-udovletvoreniya-potrebitelskogo-sprosa.html
kriterii-sovremennoj-klassifikacii-virusov.html